CF 1076E. Vasya and a Tree|树上差分

题意

一棵树，它有n个节点，1号节点为根节点，初始所有点的权值为0。

定义以下两个东西：

• 函数$d(i,j)$ : 指节点$i$到$j$所经过边的数量。

• $x$节点的$k$级子树，指满足以下条件点的集合：

  ① x为该点的祖先，规定自己也是自己的祖先。

  ②$d(i,j) \leq k$。

$m$条要求要你来解决：

给出$v,d,x$，将以$v$节点的$d$级子树的权值加上$x$。

当处理完所有的要求时，输出所有点的权值。

思路

题目要求对一段深度的某节点的子树进行加和操作，这种操作类似单纯的一维前缀和差分操作，所以可以在树上进行差分操作。

首先就是将所有的操作离线下来，将所有操作挂在节点上。对应下面的代码

vector<vector<pair<int, int>>> q(n + 1);

for(int i = 1; i <= m; i++)
{
    int u, d, v;
    cin >> u >> d >> v;
    q[u].push_back({d, v});
}

---

接下来的关键点就是如何在树上进行差分操作（对应一维差分 区间左端点的加 和 区间右端点的减）。

因为树中的遍历是基于DFS序的，访问一个子树过后才会访问到另一棵子树。

我们在DFS过程中维护差分数组（$b[i]$），DFS时携带一个前缀和（$sum$）变量，每访问到一个节点时，先遍历该节点的所有操作，将前缀和（其实就是该路径上差分数组的前缀和，等于当前节点的值）加上操作的值，然后标记差分数组结束的位置（就是在该位置减去操作的那个值）。

当回溯的时候，删除之前打的标记。树遍历是DFS序的，删除之后才会访问到另一棵树相同的深度节点，不会影响$b[i]$的值。

$b[i]$ : 代表深度为$i$的节点的标记值

标记：

if(dep[u] + d < n - 1)
    b[dep[u] + d + 1] -= v;//mark

删除标记：

for(auto [d, v] : q[u])
{
    if(dep[u] + d < n - 1)
        b[dep[u] + d + 1] += v;
}

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	int n;
	cin >> n;

	vector<vector<int>> g(n + 1);
	vector<int> dep(n + 1);

	for(int i = 1; i < n; i++)
	{
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}

	int m;
	cin >> m;

	vector<vector<pair<int, int>>> q(n + 1);

	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int u, d, v;
		cin >> u >> d >> v;
		q[u].push_back({d, v});
	}

	vector<ll> b(3e5 + 1);
	vector<ll> ans(n + 1);
	function<void(int, int, ll)> dfs = [&](int u, int fa, ll sum)
	{
        // 加上标记值
		sum += b[dep[u]]; // minus
        // 枚举节点操作
		for(auto [d, v] : q[u])
		{
			sum += v;//累加
			if(dep[u] + d < n - 1)
				b[dep[u] + d + 1] -= v;//mark
		}
		ans[u] = sum;
		for(auto v : g[u])
		{
			if(v == fa) continue;
			dep[v] = dep[u] + 1;
			dfs(v, u, sum);
		}
        // 删除标记
		for(auto [d, v] : q[u])
		{
			if(dep[u] + d < n - 1)
				b[dep[u] + d + 1] += v;
		}
	};
	dfs(1, -1, 0);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cout << ans[i] << " \n"[i == n];
	return 0;
}